Слово «по прежнему (пути)» пишется раздельно с предлогом как имя прилагательное, определяющее существительное. «По-прежнему» пишется с дефисом как наречие, примыкающее к глаголу.
Раздельное написание «по прежнему»
Я спускаюсь к речке по прежнему пути, знакомому с самого детства.
В этом предложении фигурирует прилагательное «прежний», которое определяет существительное в форме дательного падежа:
- спускаюсь (по чему?) по пути;
- по пути (какому?) прежнему.
Между предлогом «по» и словом «прежнему» легко вставляется синтаксический вопрос определения. Значит, прилагательное «по прежнему» (пути) пишется раздельно с предлогом.
Слово «по-прежнему» пишется с дефисом
Рассмотрим другое предложение, в котором употребляется созвучное однокоренное слово.
Я поступлю по-прежнему, как бы вы меня ни уговаривали.
Поступлю как? по-прежнему.
А в этом предложении интересующее нас слово зависит от глагола. К нему задается вопрос обстоятельства, оно не изменяется. В этом контексте «по-прежнему» — это наречие, которое напишем с дефисом в соответствии с орфографическим правилом написания наречий.
Это наречие образовано от однокоренного прилагательного с помощью приставки по- и суффикса —ому:
В деревне наша жизнь идет по-прежнему размеренно и спокойно.
Девушка была одета по-прежнему просто, без излишних претензий на роскошь.
А у вас по-прежнему шумно и весело по вечерам?
Аналогично пишутся с дефисом наречия, образованные от однокоренных прилагательных и местоимений:
- мой — сделать по-моему;
- другой — взглянуть по-другому;
- весенний -светит по-весеннему;
- зимний — холодно по-зимнему;
- вечерний — одеться по-вечернему
и пр.