Притяжательное прилагательное единственного числа мужского рода «лисий» имеет в своем морфемном составе суффикс —ий, что легко установить, сравнив другие падежные формы:

• р.п. нет чьего? лисьего — лись [й’ э] го;
• д.п. чьему? лисьему — лись [й’ э] му  и т.д.

В падежных формах появляется мягкий разделительный знак, после которого буква «е» обозначает два звука [й’э]. Звук [й’] в этих формах стабильно повторяется, значит, это не окончание, а часть суффикса. Окончание — изменяемая морфема (-его, -ему и т.д.)

В суффиксе -ий (лис-ий_) произошло также чередование звука [и] с нулем звука.

Вот так суффикс -ий- видоизменяется в падежных формах притяжательного прилагательного:

лис-ий_ — корень/суффикс/нулевое окончание.

Сравним с морфемным составом слова «тонкий» (тонк-ого, тонк-ому, о тонк-ом и т.д.):

тонк-ий — корень/окончание.