Оба слова «на сколько» и «насколько» существуют в русской грамматике.

В этом конкретном предложении у слова «насколько» нет зависимых слов. Оно обозначает степень состояния человека:

больно (в какой мере и степени?) насколько.

Это слово не изменяется, поясняет сказуемое и отвечает на обстоятельственный вопрос.

По этим грамматическим признак определим, что это наречие.
Это наречие пишется слитно с приставкой на-, с помощью которой оно было образовано от однокоренного слова «сколько».
Сравним:

На сколько частей следует разделить этот пирог?