В этом высказывании определим падеж слов «преобразование» и «существование».

Классическая механика основана (на чём?) на законах Ньютона, преобразовании скоростей Галилея и существовании инерциальных систем отсчёта.

Это существительные, которые заканчиваются на -ие. Такие слова в форме предложного падежа имеют окончание -и в отличие от обычных слов среднего рода с окончанием -е.

Сравним:

в поле, но в состоянии;
на столе, на перемирии.