Какая часть речи слово «нельзя» в русском языке, выясним, определив его морфологические признаки и синтаксическую роль в предложении.
Словом «нельзя» пользуются в речи тогда, когда нет возможности что-то выполнить или чтобы запретить что-то делать.

После проливного дождя по дороге нельзя ни проехать, ни пройти.
По моему мнению, без соли это есть нельзя.
Нельзя же быть таким настырным.

Это слово не изменяется ни по падежам, ни по лицам и числам, то есть не склоняется и не спрягается. По этим грамматическим признакам оно схоже с наречием. Но в отличие от наречия в предложении это слово всегда является предикатом, или сказуемым.

Слово «нельзя» — это самостоятельная часть речи категория состояния.

В русском языке категория состояния объединяет слова, которые обозначают

физическое и психическое состояние живых существ (тоскливо, страшно, весело);
состояние окружающей среды (хмуро, солнечно, пасмурно);
возможность/невозможность действия, необходимость, желательность и пр.

«Нельзя», как и «можно», «нужно», «невозможно», «неохота» и пр. составляют по значению третью группу слов категории состояния.