Чтобы понять, какая часть речи слово «неутолимо», выясним его общее грамматическое значение и морфологические признаки в предложении:

Моё желание неутолимо.

Желание (каково?) неутолимо.

Полная форма слова «неутолимый» обозначает признак предмета и отвечает на вопрос какой?

По этим признакам можно понять, что «неутолимый» — это самостоятельная часть речи имя прилагательное, которое имеет краткие формы:

гнев неутолим;
жажда неутолима;
стремление неутолимо.

Слово «неутолимо» — это имя прилагательное в краткой форме среднего рода.