Чтобы понять, какое слово выбрать, «что» или «как», обратим внимание, что в главной части этого предложении употребляется указательное слово «такую» (боль). Исходя из этой синтаксической ситуации, выберем слово «что»:

Ты чувствуешь такую же боль, что и я.

Слово «что» равноценно союзному слову «которую»:

Ты чувствуешь такую же боль, которую испытываю и я.

Слово «как» употребляется в паре с указательным словом «так».

Ты чувствуешь так эту боль, как и я.