Чтобы правильно поставить знаки препинания в этом приветствии, разберемся, что есть что в его оформлении.
«Здравствуй» — это этикетное вводное слово, после которого всегда ставится запятая.

Словосочетание «мой дорогой друг» является распространённым обращением и не делится на части, поскольку местоимение «мой» и прилагательное «дорогой» не являются однородными определениями. Между ними незачем ставить запятую.
Итак, в этом приветствии ставится единственная запятая после слова «здравствуй».

Здравствуй, мой дорогой друг!