Правильно:

Губернатор первым подал документы для регистрации на выборах главы Ставрополья.

В этом высказывании слово «выборы» применяется в обстоятельственном значении:

подал для регистрации (где?) на выборах

Это предложный падеж существительного с предлогом «на» в местном значении, а не винительный падеж (на что? на выборы) в объектном значении.

Сравним:

На выборы явилось 70% избирателей.