Чтобы понять, почему сложное прилагательное «кирилло-мефодивский» пишется с дефисом, вспомним имена ученых и просветителей Кирилла и Мефодия, которые создали славянский алфавит.

В написании сложных прилагательных руководствуемся принципом:
если обе части слова находятся между собой в равноправных, то есть сочинительных отношениях, и между двумя производящими словами можно вставить союз «и»,то производное прилагательное пишется с дефисом.

Понаблюдаем:

Кирилл и Мефодий — Кирилло-мефодиевский семинар;
шахматы и шашки — шахматно-шашечный турнир;
плоды и ягоды — плодово-ягодный джем.

И, напротив, если сложное прилагательное образовано от словосочетания с подчинительной связью, то оно пишется слитно:

горные лыжи — горнолыжный курорт;
Восточная Европа — восточноевропейский климат;
древняя Русь — древнерусский язык.